Niech \( z=x+iy \) będzie dowolną, różną od \( \mathbf{0} \) liczbą zespoloną. Zauważmy, że liczbę \( z \) możemy zapisać w postaci
\( z=x+iy=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\left( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+i\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right). \)
Łatwo również zauważyć, że liczba \( \sqrt{x^{2}+y^{2}} \) określa moduł \( r=|z| \), zaś wielkości \( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \) i \( \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \) stanowią odpowiednio \( \cos \varphi \) i \( \sin \varphi \), gdzie \( \varphi=\mathrm{arg}z \).
Rysunek 1: Interpretacja geometryczna liczby zespolonej
Zatem dowolną liczbę zespoloną \( z \) (również \( z=\mathbf{0} \)) można zapisać w postaci
\( z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi). \)
Definicja 1:
Powyższe przedstawienie liczby \( z \) nazywamy jej postacią trygonometryczną .
Rysunek 2: Interpretacja geometryczna postaci trygonometrycznej liczby zespolonej
Z określenia postaci trygonometrycznej liczby zespolonej łatwo wynika, że aby tę postać uzyskać wystarczy obliczyć moduł oraz jeden z argumentów danej liczby zespolonej.
Przykład 1:
Przedstawimy liczbę \( z=-1-i \) w postaci trygonometrycznej. Wówczas \( \mathfrak{Re}z=-1 \), \( \mathfrak{Im}z=-1 \), skąd obliczamy \( |z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \). Rozwiązując układ równań
\( \left\{\begin{array}{lcl}\cos \varphi=&\frac{-1}{\sqrt{2}}=&-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \varphi=&\frac{-1}{\sqrt{2}}=&-\frac{\sqrt{2}}{2},\end{array}\right. \)
otrzymujemy zbiór argumentów \( z \), w szczególności argument główny \( \varphi=\frac{5}{4}\pi. \)
Zatem \( z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{5}{4}\pi+i\sin \frac{5}{4}\pi\right). \)
Warto podkreślić, że przedstawienie liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej nie jest jednoznaczne. Wynika to z faktu, że dla danej liczby zespolonej, zbiór jej argumentów jest nieskończony. W szczególności w powyższym przykładzie moglibyśmy napisać \( z=\sqrt{2}\left(\cos(- \frac{3}{4}\pi)+i\sin (-\frac{3}{4}\pi)\right) \) gdyż, jak łatwo sprawdzić, również kąt \( \left(-\frac{3}{4}\pi\right) \) spełnia układ ( 1 ).
Twierdzenie 1: Równość liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej
Załóżmy, że \( z_{1},z_{2}\in\mathbb{C}\setminus \{ \mathbf{0} \} \). Jeżeli \( z_{1}=r_{1}(\cos \varphi_{1}+i\sin \varphi_{1}) \) oraz \( z_{2}=r_{2}(\cos \varphi_{2}+i\sin \varphi_{2}) \), to wówczas \( z_{1}=z_{2} \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( r_{1}=r_{2} \) oraz \( \varphi_{1}=\varphi_{2}+2k\pi \) dla pewnej liczby całkowitej \( k \).
Twierdzenie 2: Iloczyn liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej
Niech \( z_{1}=r_{1}(\cos \varphi_{1}+i\sin \varphi_{1}) \) oraz \( z_{2}=r_{2}(\cos \varphi_{2}+i\sin \varphi_{2}) \) będą dwiema liczbami zespolonymi w postaci trygonometrycznej. Wtedy ich iloczyn jest równy
\( z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}\cdot r_{2}(\cos (\varphi_{1}+\varphi_{2})+i\sin (\varphi_{1}+\varphi_{2})). \)
A zatem, przy mnożeniu liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej ich moduły się mnoży, a argumenty dodaje.
Niech \( z_{1}=r_{1}(\cos \varphi_{1}+i\sin \varphi_{1}) \) oraz \( z_{2}=r_{2}(\cos \varphi_{2}+i\sin \varphi_{2}) \) będą dwiema liczbami zespolonymi w postaci trygonometrycznej, przy czym \( z_{2}≠\mathbf{0} \). Wtedy ich iloraz jest równy
\( \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}(\cos (\varphi_{1}-\varphi_{2})+\mathrm{i}\sin (\varphi_{1}-\varphi_{2})). \)
Zatem przy dzieleniu liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej ich moduły się dzieli, a argumenty odejmuje.
Twierdzenie 4: Potęga liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej
Niech \( z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi) \). Wtedy dla dowolnej liczby naturalnej \( n \) zachodzi
- \( z^{n}=r^{n}(\cos (n\varphi)+i\sin(n\varphi)) \) (wzór de Moivre'a),
- \( z^{-n}=\frac{1}{z^{n}}. \)
Przykład 2:
Przedstawimy liczbę \( (1-i)^{10} \) w postaci algebraicznej.
Niech \( z=1-i \). Wówczas \( |z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}. \)
Mamy zatem
\( \left\{\begin{array}{lcl}\cos\varphi&=&\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\sin\varphi&=&-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2},\end{array}\right. \)
skąd otrzymujemy argument główny liczby \( z \) równy \( \frac{7}{4}\pi \).
Stąd
\( z=\sqrt{2}\left(\cos\frac{7}{4}\pi+i\sin\frac{7}{4}\pi\right). \)
Aby obliczyć \( z^{10} \) korzystamy ze wzoru de Moivre'a:
\( z^{10}=\left(\sqrt{2}\left(\cos\frac{7}{4}\pi+i\sin\frac{7}{4}\pi\right)\right)^{10}=\\ (\sqrt{2})^{10}\left(\cos\frac{70}{4}\pi+i\sin\frac{70}{4}\pi\right)=\\ 2^{5}\left(\cos(\frac{72}{4}-\frac{2}{4})\pi+i\sin(\frac{72}{4}-\frac{2}{4})\pi\right)=\\ 32\left(\cos(18\pi-\frac{2}{4}\pi)+i\sin(18\pi-\frac{2}{4}\pi)\right). \)
Korzystając z okresowości funkcji sinus i cosinus otrzymujemy
\( z^{10}=\left(\sqrt{2}\left(\cos\frac{7}{4}\pi+i\sin\frac{7}{4}\pi\right)\right)^{10}=\\ (\sqrt{2})^{10}\left(\cos\frac{70}{4}\pi+i\sin\frac{70}{4}\pi\right)=\\ 2^{5}\left(\cos(\frac{72}{4}-\frac{2}{4})\pi+i\sin(\frac{72}{4}-\frac{2}{4})\pi\right)=\\ 32\left(\cos(18\pi-\frac{2}{4}\pi)+i\sin(18\pi-\frac{2}{4}\pi)\right)=\\ 32\left( \cos(-\frac{2}{4}\pi)+i\sin(-\frac{2}{4}\pi) \right). \)
Wstawiając wartości \( \cos(-\frac{2}{4}\pi) \) i \( \sin(-\frac{2}{4}\pi) \) otrzymujemy ostatecznie
\( z^{10}= 32(0-i)=-32i. \)
Przykład 3:
Przedstawimy liczbę \( (-3-3i)^{6} \) w postaci algebraicznej.
Niech \( z=-3-3i \). Wówczas mamy \( |z|=\sqrt{18}=3\sqrt{2} \), \( \cos \varphi=-\frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \sin \varphi=-\frac{\sqrt{2}}{2} \). Stąd \( \varphi=\frac{5}{4}\pi \), zatem postać trygonometryczna liczby \( z \) to \( z=3\sqrt{2}\left(\cos \frac{5}{4}\pi+i\sin\frac{5}{4}\pi\right) \).
Korzystając ze wzoru de Moivre'a otrzymujemy
\( z^{6}=(3\sqrt{2})^{6}\left(\cos \frac{30}{4}\pi+i\sin \frac{30}{4}\pi\right)=\\ 3^{6}\cdot 2^{3}\left(\cos(6\pi+\frac{6}{4}\pi)+i\sin(6\pi+\frac{6}{4}\pi)\right)=\\ 5832\left(\cos\frac{3}{2}\pi+i\sin\frac{3}{2}\pi\right)=-5832i. \)
Przykład 4:
Wyliczymy wartość wyrażenia
\( \frac{(-2+2i)^{10}}{(1-\sqrt{3}i)^{16}}. \)
Oznaczmy \( z=-2+2i \) oraz \( w=1-\sqrt{3}i \). Mamy wówczas \( |z|=2\sqrt{2} \) oraz \( |w|=2 \).
Niech teraz \( \varphi \) oznacza argument główny liczby \( z \), zaś \( \psi \) argument główny liczby \( w \). Mamy:
\( \left\{\begin{array}{lcl}\cos\varphi&=&-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin\varphi&=&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\quad \textrm{oraz}\quad\left\{\begin{array}{lcl}\cos\psi&=&\frac{1}{2}\\\sin\psi&=&-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right., \)
skąd \( \varphi=\frac{3}{4}\pi \), zaś \( \psi=\frac{5}{3}\pi \).
Korzystając ze wzoru de Moivre'a obliczymy teraz \( z^{10} \) oraz \( w^{16} \).
Mamy:
\( z^{10}=(2\sqrt{2})^{10}\left(\cos \frac{30}{4}\pi+i\sin\frac{30}{4}\pi\right)=2^{15}\left(\cos\frac{3}{2}\pi+i\sin\frac{3}{2}\pi\right), \)
\( w^{16}=2^{16}\left(\cos\frac{80}{3}\pi+i\sin\frac{80}{3}\pi\right)=2^{16}\left(\cos\frac{2}{3}\pi+i\sin\frac{2}{3}\pi\right). \)
Stosując twierdzenie Iloraz liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej obliczamy
\( \frac{z^{10}}{w^{16}}=\frac{2^{15}}{2^{16}}\left(\cos(\frac{3}{2}\pi-\frac{2}{3}\pi)+i\sin(\frac{3}{2}\pi-\frac{2}{3}\pi)\right)=\\ \frac{1}{2}\left(\cos\frac{5}{6}\pi+i\sin\frac{5}{6}\pi\right)=\frac{1}{2}(-\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2})=-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{4}i. \)
